Задача № 207771
Докажите, что для любого k > 1 найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки. (Например, 212 = ...96, 253 = ...992.)
Олимпиадные задачи по теме «Методы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207756
Докажите, что уравнение x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ имеет бесконечное число решений в целых числах x, y, z.
Задача № 198326
При каком n > 1 может случиться так, что в компании из n + 1 девочек и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?
Задача № 198317
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
Задача № 198315
а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? б) А если девочек 11, а мальчиков 10?
Задача № 198294
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности. а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения. б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.
Задача № 198220
Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?
Задача № 198192
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть а) больше 15? б) больше 20?
Задача № 198142
Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например: 36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < n/b.
Задача № 198118
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия: 1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк; 2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов; 3) среди чисел нет равных; 4) все числа не больше 1991?
Задача № 198107
Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия: 1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк; 2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов; 3) среди чисел нет равных; 4) все числа не больше 100?
Задача № 198072
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1. M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
Задача № 198045
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида y = anx² + bnx + cn (n = 1, 2, ..., 100)?
Задача № 197968
Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?
Задача № 197877
Выпуклой фигурой F нельзя накрыть полукруг радиуса R. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными F, можно накрыть круг радиуса R?
Задача № 173834
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Задача № 173714
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы а) треугольник T1 был остроугольным? б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)? в) треугольник T3 был подобен треугольнику T? г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных др...
Задача № 173704
Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Задача № 173677
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
Задача № 173554
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времениt = 0возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то в...
Задача № 164724
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше а) 15; б) 20? в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n×n клеток получиться больше чем n²/4 частей (для n > 8)?
Задача № 157075
Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.