Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями

Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через  <i>V</i>(<i>n, b</i>)  обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:

36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  <i>V</i>(36, 2) = 5).  Докажите, что  <i>V</i>(<i>n, b</i>) < ^<i>n</i>/_<i>b</i>.

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 1991?

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 100?

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?

При каких <i>n</i> правильный <i>n</i>-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?

(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...