Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8 класса - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что уравнение   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³   имеет бесконечное число решений в целых числах <i>x, y, z</i>.

При каком  <i>n</i> > 1  может случиться так, что в компании из  <i>n</i> + 1  девочек и <i>n</i> мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.

  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.

  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел <i>x, y, z</i>, что   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³?

В каждой клетке квадрата  8×8  клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть

  а) больше 15?

  б) больше 20?

Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>k ≤ n</i>.  Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.