Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 7-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что для любого  <i>k</i> > 1  найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.

(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

При каких <i>n</i> правильный <i>n</i>-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?

(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i>₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i>₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>₁; аналогично определим треугольники <i>T</i>₃, <i>T</i>₄ и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы

  а) треугольник <i>T</i>₁ был остроугольным?

  б) в последовательности <i>T</i>₁, <i>T</i>₂, <i>T</i&gt...

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.