Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что для любого  <i>k</i> > 1  найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.

(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.

<i>M</i> – множество всех их вершин. <i>A</i> и <i>B</i> – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества <i>M</i>. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку <i>A</i> в точку <i>B</i>?

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i>₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i>₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>₁; аналогично определим треугольники <i>T</i>₃, <i>T</i>₄ и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы

  а) треугольник <i>T</i>₁ был остроугольным?

  б) в последовательности <i>T</i>₁, <i>T</i>₂, <i>T</i&gt...

Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>k ≤ n</i>.  Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше

  а) 15;

  б) 20?

  в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат <i>n×n</i> клеток получиться больше чем ^<i>n</i>²/₄ частей (для  <i>n</i> > 8)?