Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8-9 класса - сложность 2-4 с решениями

Даны <i>n</i> точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.

Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.

  а) Найдите четыре таких числа.

  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы

  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),

  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через <i>a</i>, а до центров всех белых клеток – через <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Несколько ребят стоят по кругу. У каждого есть некоторое количество конфет. Сначала у каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину своих конфет стоящему справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное количество конфет, то ему извне добавляется одна конфета. Это повторяется много раз. Доказать, что настанет время, когда у всех будет поровну конфет.

Квадрат разбит на <i>n</i>² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?

<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.

Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.

Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:

  а)  <i>N</i> = 64,

  б)  <i>N</i> = 55,

  в)  <i>N</i> = 100.

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.