Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9 класса - сложность 3 с решениями
Методы
Все категорииПолицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?
Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.
Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что <i>abc</i> = 1. Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Натуральное число <i>N</i> в 999...99 (<i>k</i> девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения <i>k</i> и для каждого из них приведите пример такого числа.
a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?
В компанию из <i>n</i> человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек <i>Z</i>, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть <i>Z</i>, задав менее <i>n</i> вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти <i>Z</i>, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)
Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся
а) не меньше пяти рёбер,
б) ровно пять рёбер?
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?