Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 5-8 класса - сложность 3 с решениями
Методы
Все категорииКвадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.
Докажите, что среди них есть треугольник.
Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
Каждая клетка квадрата $100\times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.
В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?
В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?
В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.
а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?
б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?
Биссектрисы <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. На отрезках <i>A</i><sub>1</sub><i>I</i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>I</i> построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами <i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, лежащими на прямой <i>AB</i>. Известно, что прямая <i>CI</i> делит отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> пополам. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный?