Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 5-10 класса - сложность 4 с решениями
Методы
Все категорииДан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной прямой <i>l</i> обозначим через <i>l<sub>a</sub></i>, <i>l<sub>b</sub></i>, <i>l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, а через <i>I<sub>l</sub></i> – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек <i>I<sub>l</sub></i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
В бесконечной последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... число <i>a</i><sub>1</sub> равно 1, а каждое следующее число <i>a<sub>n</sub></i> строится из предыдущего <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1, если же остаток равен 3, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встреч...
Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?
В однокруговом футбольном турнире играли  <i>n</i> > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
б) При каком наименьшем <i>n</i> могут не найтись пять таких команд?
В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, может менять направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году (то есть за 214 дней).
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки <i>A′, B′, C′</i>, что лучи <i>B′C′, C′A′, A′B′</i> проходят через <i>A, B, C</i> соответственно.
Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i> (<i>AD</i> || <i>BC</i>). Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.