Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.

Докажите, что среди них есть треугольник.

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.

Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?

В кубке Водоканала по футболу участвовали команды "Помпа", "Фильтр", "Насос" и "Шлюз". Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу (за победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за проигрыш – 0). Команда "Помпа" набрала больше всех очков, команда "Шлюз" – меньше всех. Могло ли оказаться так, что "Помпа" обогнала "Шлюз" всего на 2 очка?

Куб с ребром2<i>n+</i>1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2<i>x </i>2<i>x </i>1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.

Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

Каждая клетка квадрата $100\times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.

В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею?

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

В турнире по волейболу каждая команда встречалась с каждой по одному разу. Каждая встреча состояла из нескольких партий – до трёх побед одной из команд. Если встреча заканчивалась со счётом  3 : 0  или  3 : 1,  то выигравшая команда получала 3 очка, а проигравшая – 0. Если же счёт партий был

3 : 2,  то победитель получал 2 очка, а побеждённый – 1 очко. По итогам турнира оказалось, что команда "Хитрецы" набрала больше всех очков, а команда "Простаки" – меньше всех. Но "Хитрецы" выиграли меньше встреч, чем проиграли, а у "Простаков" наоборот, победных встреч оказалось больше, чем проигранных. При каком наименьшем количестве команд такое возможно?

Дана окружность с центром в начале координат.

Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

На плоскости проведены  <i>n</i> > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое

  а) наименьшее;

  б) наибольшее

количество углов может быть среди этих частей?

Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?

В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.

  а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?

  б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?

Биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. На отрезках <i>A</i>₁<i>I</i> и <i>B</i>₁<i>I</i> построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂, лежащими на прямой <i>AB</i>. Известно, что прямая <i>CI</i> делит отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ пополам. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный?