Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8-10 класса

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.