Олимпиадные задачи по теме «Методы»

Найдите наименьшее четырёхзначное число<tt>СЕЕМ</tt>, для которого существует решение ребусаМЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся

  а) 15 одноклассников;

  б) 16 одноклассников?

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.

  а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.

  б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.

Найдите максимальное число <i>N</i>, для которого существуют такие <i>N</i> последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр <i>N</i>-го числа – на <i>N</i>.

Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что

  а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;

  б) двенадцати карточек для этого недостаточно.

Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что

  а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;

  б) восьми карточек для этого недостаточно.

Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел  <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i>  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?

(Среди чисел могут быть равные.)

Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.

Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ..., <i>c</i>₁₀₀, что для любых двух соседних чисел <i>c_i</i> и <i>c</i>_<i>i</i>+1 этого набора сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif">   есть квадрат целого числа.

Дан угол с вершиной <i>O</i> и внутри него точка <i>A</i>. Рассмотрим такие точки <i>M, N</i> на разных сторонах данного угла, что углы <i>MAO</i> и <i>OAN</i> равны.

Докажите, что все прямые <i>MN</i> проходят через одну точку (или параллельны).

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.

Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5×5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться, что сумма чисел, выбранных Яшей   a) больше суммы чисел, выбранных Юрой?   б) больше суммы любых других пяти чисел исходной таблицы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не стоят в одной строке или в одном столбце?

Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.

На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?