Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Олимпиадные задачи по теме «Методы» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216661
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
Задача № 203892
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Задача № 203780
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассников?
Задача № 198272
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному? (Среди чисел могут быть равные.)
Задача № 198229
Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.
Задача № 198166
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Задача № 198157
Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел c1, c2, ..., c100, что для любых двух соседних чисел ci и ci+1 этого набора сумма есть квадрат целого числа.
Задача № 165569
На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.