Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 3-8 класса - сложность 4 с решениями

Мишень "бегущий кабан" находится в одном из<i> n </i>окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Известно, что  <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.

  а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.

  б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.