Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 4-8 класса

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются <i>непохожими</i>, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

  б) А может ли быть ровно 50?

На сторонах <i>AB</i> и <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>N</i> соответственно. При этом <!-- MATH $AK\cdot AN = 2BK\cdot DN$ --> <i>AK</i>^.<i>AN</i> = 2<i>BK</i>^.<i>DN</i>. Отрезки <i>CK</i> и <i>CN</i> пересекают диагональ <i>BD</i> в точках <i>L</i> и <i>M</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>L</i>, <i>M</i>, <i>N</i> и <i>A</i> лежат на одной окружности.