Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .
В таблице 0 1 2 3 ... 9 9 0 1 2 ... 8 8 9 0 1 ... 7 ... 1 2 3 4 ... 0 отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент. Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём AE : EB = 1 : 2, а CF = FD. Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?