Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 6-7 класса - сложность 2-3 с решениями
Методы
Все категорииВ пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?
Имеется набор гирь со следующими свойствами:<ol type="a"> <li>В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
</li><li>Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса. </li></ol>Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел<i> a </i>и<i> b </i>(<i> a>b </i>) хотя бы одно из чисел<i> a+b </i>или<i> a-b </i>тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
На плоскости отметили <i>n</i> (<i>n</i> > 2) прямых, проходящих через одну точку <i>O</i> таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.
Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
На столе лежат <i>n</i> спичек (<i>n</i> > 1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до <i>n</i> – 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все <i>n</i>, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?