Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями

На плоскости отметили <i>n</i>  (<i>n</i> > 2)  прямых, проходящих через одну точку <i>O</i> таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города <i>A</i> статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих <i>A</i> с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:

  1) проверять, равны ли выбранные два числа,

  2) складывать выбранные числа,

  3) по выбранным числам <i>a</i> и <i>b</i> находить корни уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  а если корней нет, выдавать сообщение об этом.

Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число <i>x</i>. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>

|x-a₁|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b₁|+..+|x-b</i>50<i>|,

</i></center> где<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>,<i> a</i>50,<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> b</i>50– различные числа?

В вершинах выпуклого <i>n</i>-угольника расставлены <i>m</i> фишек  (<i>m > n</i>).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине <i>n</i>-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно <i>n</i>.