Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 3-9 класса

На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?

Последовательности(<i>a_n</i>)и(<i>b_n</i>)заданы условиями<i> a₁=</i>1,<i> b₁=</i>2,<i> a_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

На острове живут100рыцарей и100лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно100человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Для положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

В гоночном турнире 12 этапов и <i>n</i> участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места <i>k</i> получают баллы <i>a_k</i> (числа <i>a_k</i> натуральны, и  <i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > ... > <i>a_n</i>).  При каком наименьшем <i>n</i> устроитель турнира может выбрать числа <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Пусть <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀ – натуральные числа,  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < ... < <i>a</i>₁₀.  Пусть <i>b_k</i> – наибольший делитель <i>a_k</i>, меньший <i>a_k</i>. Оказалось, что <i>b</i>₁ > <i>b</i>₂ > ... > <i>b</i>₁₀.

Докажите, что  <i>a</i>₁₀ > 500.

Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесённом доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры

  а) 20&times20 клеток;

  б) 50&times90 клеток?

Дан правильный 12-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₂.

Можно ли из 12 векторов  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif">  выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.

Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?