Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка <i>O</i>, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от <i>O</i> до любой красной точки меньше расстояния от <i>O</i> до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.

  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.

  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω₁, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω₂.

Докажите, что  cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.

Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?