Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

В одной из школ 20 раз проводился кружок по астрономии. На каждом занятии присутствовало ровно пять школьников, причём никакие два школьника не встречались на кружке более одного раза. Докажите, что всего на кружке побывало не менее 20 школьников.

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то векторы   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_2.gif">   и   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_3.gif">   равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться

  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;

  б) на одной произвольной прямой.  

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то  <i>AB = BA</i>₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?