Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 5-7 класса - сложность 3-4 с решениями

Найдите все такие простые числа <i>p, q, r</i> и <i>s</i>, что их сумма – простое число. а числа  <i>p</i>² + <i>qs</i>  и  <i>p</i>² + <i>qr</i>  – квадраты натуральных чисел. (Числа <i>p, q, r</i> и <i>s</i> предполагаются различными.)

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

Петя взял 20 последовательных натуральных чисел, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число <i>M</i>. Вася взял 21 последовательное натуральное число, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число <i>N</i>. Могло ли случиться, что  <i>M = N</i>?