Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями

В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.

На плоскости расположено[<i><img src="/storage/problem-media/110102/problem_110102_img_2.gif"> n</i>]прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с<i> n </i>прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  <i>m</i>² + 1  точек с целыми координатами.

Докажите, что в нём найдутся  <i>m</i> + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

В каждой клетке квадратной таблицы размером <i>n×n</i> клеток  (<i>n</i> ≥ 3)  записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить <i>n</i> получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число <i>n</i> делится на 4.

На прямой расположены2<i>k-</i>1белый и2<i>k-</i>1черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с<i> k </i>черными, а любой черный – хотя бы с<i> k </i>белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.

Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.