Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 4-11 класса

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа  <i>a</i>² + 1.

Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что  <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число  <i>am</i>² + <i>bn</i>²  является точным квадратом. Докажите, что  <i>ab</i> = 0.

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?

Последовательность<i> a₁,a₂,.. </i>такова, что<i> a₁<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a_k+</i>1<i>=a_k+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число<i> <img align="abscenter" src="/storage/problem-media/111849/2.gif">=</i>0<i>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111849/3.gif"></i>10715<i>.. </i>). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано<i> N </i>цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем<i> N </i>он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i> с целыми коэффициентами и любого натурального <i>k</i> существует такое натуральное <i>n</i>, что  <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>)  делится на <i>k</i>.

Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.

Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Клетки квадрата50×50раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Последовательность натуральных чисел <i>a_i</i> такова, что  НОД(<i>a_i, a_j</i>) = НОД(<i>i, j</i>)  для всех  <i>i ≠ j</i>.  Докажите, что  <i>a_i = i</i>  для всех  <i>i</i> ∈ <b>N</b>.

Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i>₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...,

что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif">   делится на  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_k</i>  при всех  <i>k</i> ≥ 1.

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).

Дан кубический многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>). Назовём <i>циклом</i> такую тройку различных чисел  (<i>a, b, c</i>),  что  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b,  f</i>(<i>b</i>) = <i>c</i>  и  <i>f</i>(<i>c</i>) = <i>a</i>.  Известно, что нашлись восемь циклов  (<i>a_i, b_i, c_i</i>),  <i>i</i> = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  <i>a_i + b_i + c_i</i>  есть хотя бы три различных.

Натуральное число <i>N</i> представляется в виде  <i>N = a</i>₁ – <i>a</i>₂ = <i>b</i>₁ – <i>b</i>₂ = <i>c</i>₁ – <i>c</i>₂ = <i>d</i>₁ – <i>d</i>₂,  где <i>a</i>₁ и <i>a</i>₂ – квадраты, <i>b</i>₁ и <i>b</i>₂ – кубы, <i>c</i>₁ и <i>c</i>₂ – пятые степени, а <i>d</i><sub>1</su...

Пусть  <i>n</i> > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  ¹/_<i>n</i>, ²/_<i>n</i>, ..., ^<i>n</i>–1/_<i>n</i>  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных  <i>n</i> > 1  числа  <i>f</i>(<i>n</i>) и  <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?