Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

<i> N </i>цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении<i> N </i>все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.