Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное<i> k </i>, для которого можно выбрать<i> k </i>различных слов, в записи которых используется ровно<i> k </i>различных букв.

<i> N </i>цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении<i> N </i>все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

Обозначим<i> S</i>(<i>x</i>)сумму цифр числа<i> x </i>. Найдутся ли три таких натуральных числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>, что<i> S</i>(<i>a+b</i>)<i><</i>5,<i> S</i>(<i>a+c</i>)<i><</i>5и<i> S</i>(<i>b+c</i>)<i><</i>5, но<i> S</i>(<i>a+b+c</i>)<i>></i>50?

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

Лист бумаги имеет форму круга. Можно ли провести на нем пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на границе листа так, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, нашлись пятиугольник и два четырехугольника?

100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.