Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9-10 класса - сложность 3 с решениями

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

Рациональные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все числа  <i>x + y</i>² + <i>z</i>²,  <i>x</i>² + <i>y</i> + <i>z</i>²  и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>  целые. Докажите, что число 2<i>x</i> целое.

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.

Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Существует ли выпуклый <i>N</i>-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  <i>y = x</i>²,  если

  а)  <i>N</i> = 2011;

  б)  <i>N</i> = 2012?

В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).   а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?   б) Пусть стёрлись <i>k</i> записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем <i>k</i> всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?

Дана функция <i>f</i>(<i>x</i>), значение которой при любом целом <i>x</i> целое. Известно, что для любого простого числа <i>p</i> существует такой многочлен <i>Q_p</i>(<i>x</i>) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  <i>f</i>(<i>n</i>) – <i>Q_p</i>(<i>n</i>)  делится на <i>p</i> при любом целом <i>n</i>. Верно ли, что существует такой многочлен <i>g</i>(<i>x</i>) с вещественными коэффициентами , что  <i>g</i>(<i>n</i>) = <i>f</i>(<i>n</i>)  для любого целого <i>n</i>?

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.   а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.

  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть <i>S</i> – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать <i>S</i>?

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0  и  <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0  имеет два целых корня?

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и точка с координатой <i>d</i>, где <i>d</i> – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и  <i>n</i> – 1 > 0  целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, 2002],  взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на <i>n</i> равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

На отрезке  [0, <i>N</i>]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, <i>N</i>],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки <i>A</i> и <i>B</i>, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок <i>AB</i> на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек <i>A, B</i>. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, <i>N</i>]?

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что  <i>m + n = p + q</i>  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">

В магическом квадрате <i>n×n</i>, составленном из чисел 1, 2, ..., <i>n</i>², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке <i>a, b, c</i>, для которой  <i>a</i> + 99<i>b = c</i>,  нашлись два числа из одного подмножества.