Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9 класса - сложность 5 с решениями

Даны натуральные числа<i> p<k<n </i>. На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (<i>k+</i>1)×<i>n </i>(<i> n </i>клеток по горизонтали,<i> k+</i>1– по вертикали) отмечено ровно<i> p </i>клеток. Докажите, что существует прямоугольник<i> k</i>×(<i>n+</i>1) (где<i> n+</i>1клетка по горизонтали,<i> k </i>– по вертикали), в котором отмечено не менее<i> p+</i>1клетки.

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

Внутри выпуклого стоугольника выбрано<i> k </i>точек,2<i><img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> k<img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> </i>50. Докажите, что можно отметить2<i>k </i>вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2<i>k </i>-угольника с отмеченными вершинами.