Олимпиадные задачи по теме «Методы»

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀,  что уравнение

(<i>x – a</i>₁)(<i>x – a</i>₂)...(<i>x – a</i>₁₀) = (<i>x + a</i>₁)(<i>x + a</i>₂)...(<i>x + a</i>₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: <i>A</i> из двух чисел и <i>B</i> из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе <i> B </i> была равна произведению чисел в группе <i>A</i>.

Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?

Пусть<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=x²+ax+b cos x </i>. Найдите все значения параметров<i> a </i>и<i> b </i>, при которых уравнения<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=</i>0и<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>=</i>0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Два многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i>₀, что  <i>P</i>(<i>x</i>₀) < <i>Q</i>(<i>x</i>₀).

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

На доску последовательно выписываются числа  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... по следующим правилам: <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> – 2,  если число  <i>a_n</i> – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Существуют ли такие действительные числа <i>b</i> и <i>c</i>, что каждое из уравнений  <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  2<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x + c</i> + 1 = 0  имеет по два целых корня?

Существуют ли два квадратных трёхчлена  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  и  (<i>a</i> + 1)<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x</i> + (<i>c</i> + 1)  с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 5  сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.

Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до<i> n </i>(<i> n></i>1), одинаково читаться слева направо и справа налево?

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на &frac15;, пятый – на &frac18;, шестой – на ¹/₉, и седьмой – на ¹/₁₀. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным   а) на ¹/₁₂;   б) на &frac16;?

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство   |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.

Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.

Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?