Задача № 210158
Даны натуральные числа p
Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» - сложность 5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209694
В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через[]ходов.
Задача № 207769
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которыхA, параллельными переносами, переводящимиAв каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).
Задача № 173689
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 158281
а) Можно ли квадрат6×6 замостить костями домино1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольникm×n, гдеmиnбольше 6 иmnчетно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак. в) Докажите, что прямоугольник6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
Задача № 158134
Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.
Задача № 158133
Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.
Задача № 158109
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равнаp. Обозначим эту систему отрезковA. ПустьB — дополнительная система отрезков (отрезки системAиBне имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный переносT, для которого пересечениеBиT(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньшеp(1 -p)/2.
Задача № 158105
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.
Задача № 158104
Попарные расстояния между точкамиA1,...,Anбольше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точекA1,...,An.
Задача № 158100
Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по kдуг, угловые величины каждой из которых меньше . 180o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.
Задача № 158099
Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Задача № 158092
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в три цвета. Докажите, что существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.