Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 9 класса - сложность 4 с решениями
Принцип Дирихле
НазадЧисла 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
На окружности расположено множество<nobr><i>F</i> точек,</nobr>состоящее из<nobr>100 дуг.</nobr>При любом<nobr>повороте <i>R</i></nobr>окружности множество<i>R</i>(<i>F</i>) имеет хотя бы одну общую точку с<nobr>множеством <i>F</i>.</nobr><span class="prim">(Другими словами, для любого <nobr>угла α</nobr> <nobr>от 0°</nobr> <nobr>до 180°</nobr> в <nobr>множестве <i>F</i></nobr> можно указать две точки, отстоящие одна от другой на <nobr>угол α.)</nobr></span>Какую наименьшую сумму длин могут иметь<nobr>100 дуг,</nobr>образующих<nobr>множество <i>F</i>?</nobr&g...
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как<nobr>2 : 3.</nobr>Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
На доске выписаны в ряд <i>n</i> положительных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Вася хочет выписать под каждым числом <i>a<sub>i</sub></i> число <i>b<sub>i</sub> ≥ a<sub>i</sub></i> так, чтобы для каждых двух из чисел <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство <i>b</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub>...<i>b<sub>n</...
На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif"> из этих <i>k</i>-угольников.
В государстве <i>n</i> городов, и между каждыми двумя из них курсирует экспресс (в обе стороны). Для каждого экспресса цены билетов "туда" и "обратно" равны, а для разных экспрессов эти цены различны. Докажите, что путешественник может выбрать начальный город, выехать из него и проехать последовательно на <i>n</i> – 1 экспрессах, платя за проезд на каждом следующем меньше, чем за проезд на предыдущем. (Путешественник может попадать несколько раз в один и тот же город.)
Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58103/problem_58103_img_2.gif" border="1"></div>
Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.
На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.
Внутри окружности радиуса <i>n</i>расположено 4<i>n</i>отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой <i>l</i>и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
Внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника взята точка <i>P</i>. Через каждую вершину и точку <i>P</i>проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2<i>n</i>-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.