Задача № 215470
В классе25учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?
Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 8 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210920
У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета "2 рубля". Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.
Задача № 207703
Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно а) по 2 монеты; б) по 3 монеты; в) по 4 монеты; г) по 5 монет; д) по 6 монет; е) по 7 монет? (Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.
Задача № 204021
а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны? б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.
Задача № 203963
Доказать, что среди любых одиннадцати целых чисел найдутся два, разность между которыми делится на 10.
Задача № 203962
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
Задача № 203961
Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были различны?
Задача № 203960
Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.
Задача № 203804
Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник, б) правильный пятиугольник.
Задача № 198031
10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Задача № 197979
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.
Задача № 189951
Запах от цветущего кустика ландышей распространяется в радиусе 20 м вокруг него. Сколько цветущих кустиков ландышей необходимо посадить вдоль прямолинейной 400-метровой аллеи, чтобы в каждой ее точке пахло ландышем?
Задача № 188214
В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц.
Задача № 188072
а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?
Задача № 179653
Можно ли в таблице 6*6 расставить числа 0,1,-1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны.
Задача № 179650
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.
Задача № 160356
Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то двое из мужчин сидят друг напротив друга.
Задача № 160352
В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные – чёрные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?
Задача № 158093
На плоскости дано nпопарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше180o/n.
Задача № 135795
В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора. Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?
Задача № 135679
Докажите, что найдутся двадцать москвичей, имеющих одинаковое число волос на голове. (Известно, что у человека на голове не более 400000 волос, а в Москве не менее 8 миллионов жителей.)
Задача № 135571
На шахматной доске более четверти полей занято шахматными фигурами. Докажите, что занятыми оказались хотя бы две соседние (по стороне или диагонали) клетки.
Задача № 135506
Можно ли таблицу n×n заполнить числами –1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?
Задача № 135453
Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.
Задача № 135339
На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.
1–25 из 44