Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 6 класса - сложность 2 с решениями

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, чтоа) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.Прав ли он в обоих случаях? Почему?

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.

Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.

Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых.

Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг.

Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.