Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 11 класса - сложность 4 с решениями

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a < b</i> < 2<i>a</i>. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике <i>a</i>×<i>b</i> или <i>b</i>×<i>a</i> есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального <i>N</i> найдётся клетчатый квадрат <i>N</i>×<i>N</i>, в котором отмечено хотя бы α<i>N</i>² клеток?

На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана <i>особой</i>, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из <i>n</i> попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если <i>A</i> бьёт <i>B</i>, а <i>B</i> бьёт <i>C</i>, то может оказаться, что <i>C</i> бьёт <i>A</i>). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif">   из этих <i>k</i>-угольников.