Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

Все целые числа от 1 до 2<i>n</i> выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит.

Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2<i>n</i> одинаковый остаток.

Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что  <i>AB = CD,  AD = BC</i>  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.

Докажите, что каково бы ни было целое число <i>n</i>, среди чисел <i>n,  n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 9  есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.

В таблицу <i>n×n</i> записаны <i>n</i>² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма <i>n</i> чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>k ≤ n</i>.  Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>_<i>n</i> < ...  такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что  <i>a</i>_<i>n</i> ≤ <i>n</i>²  для любого  <i>n</i> = 1, 2, 3, ...

Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что  2^<i>b</i> – 1  делится на <i>a</i>.

У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось — округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет, а) если мешков всего 8; б) если мешков всего 9?

В одной из клеток шахматной доски 10×10 стоит ладья. Переходя каждым ходом в соседнюю по стороне клетку, она обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно по одному разу. Докажите, что для каждой главной диагонали доски верно следующее утверждение: в маршруте ладьи есть два последовательных хода, первым из которых она ушла с этой диагонали, а следующим – вернулась на неё. (Главная диагональ ведёт из угла доски в противоположный угол.)

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?

Из клетчатой доски размером 8×8 выпилили восемь прямоугольников размером 2×1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2×2. Обязательно ли это удастся?

В классе 28 учеников. На уроке программирования они делятся на три группы. На уроке английского языка они тоже делятся на три группы, но по-другому. И на уроке физкультуры они делятся на три группы каким-то третьим способом. Докажите, что найдутся хотя бы два ученика, которые на всех трёх занятиях находятся друг с другом в одной группе.

Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)

Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску 8×8, чтобы все белые клетки были под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.

Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?

100 ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?