Задача № 216615
Решите уравнение: .
Олимпиадные задачи по теме «Методы математического анализа» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215713
Существуют ли такие натуральные x и y, что x4 – y4 = x³ + y³?
Задача № 215711
В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду. Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся длякаждогоиз них.
Задача № 215353
Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.
Задача № 211771
Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (xk – yk)n < (xn – yn)k.
Задача № 210173
Найдите все пары чисел x,y (0;), удовлетворяющие равенству sin x+ sin y= sin(xy).
Задача № 210089
Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x) = 0.
Задача № 209163
Найти все действительные решения уравнения x2+2x sin xy+1=0.
Задача № 204102
Решите систему уравнений: x² + 4sin²y – 4 = 0, cos x – 2cos²y – 1 = 0.
Задача № 204043
Сборная Лихтенштейна по футболу выиграла у сборной Люксембурга со счетом 9:5. Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной Лихтенштейна оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Люксембурга.
Задача № 198538
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001! + 1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?
Задача № 198260
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d. Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
Задача № 198242
Коэффициенты квадратного уравнения x² + px + q = 0 изменили не больше чем на 0,001. Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?
Задача № 198083
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Задача № 197966
Решите систему уравнений: (x3 + x4 + x5)5 = 3x1, (x4 + x5 + x1)5 = 3x2, (x5 + x1 + x2)5 = 3x3, (x1 + x2 + x3)5 = 3x4, (x2 + x3 + x4)5 = 3x5.
Задача № 179502
Решите уравнениеxx4= 4 (x> 0).
Задача № 178520
Решить в положительных числах систему:
Задача № 178147
На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.
Задача № 178054
Дано уравнение xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0, где a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, an ≥ 0. Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Задача № 167036
В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.
Задача № 166847
Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: "Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!" В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша? Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы не считаются принадлежащими этой полусфере.
Задача № 166348
Решите уравнение
Задача № 165482
На плоскости проведены n прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите n.
Задача № 165406
Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна а) 1; б) 2; в) 1001?
Задача № 164519
Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: 1/2009 и 1/2008. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?
1–25 из 36