Задача № 2118848 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
В нашем распоряжении имеются 32kнеотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3k + 1 взвешиваний?
Задача № 2101388 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Задача № 2098228 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.
Задача № 2096529 класс10 класс11 класс5 / 5
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия: Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1; Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1, n-2. Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).
Задача № 1978069 класс10 класс11 класс5 / 5
k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M1 – множество m расположенных подряд вершин и M2 – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M1 отличается от количества закрашенных вершин в M2 не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и k ≤ n почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.
Задача № 1793679 класс10 класс11 класс5 / 5
На химической конференции присутствовалоkучёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4kвопросов; б) 2k- 2 вопросов.
Задача № 1792909 класс10 класс11 класс5 / 5
Прямоугольный лист бумаги размеромa×bсм разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чиселaилиbцелое.
Задача № 1737958 класс9 класс10 класс5 / 5
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 17378010 класс11 класс5 / 5
Предлагается построитьNточек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точекMiиMj, гдеiиj —любые числаот 1до N.Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек? в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
Задача № 1737509 класс10 класс11 класс5 / 5
На бесконечном клетчатом листе белой бумагиnклеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времениt = 1,2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клеткаkприобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клеткиkи её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, тоkстановится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени...
Задача № 17361010 класс11 класс5 / 5
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это. г) Докажите, что в...
Задача № 1735908 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 1583559 класс10 класс11 класс5 / 5
Пусть на двух пересекающихся прямых l1и l2выбраны точки M1и M2, не совпадающие с точкой пересечения Mэтих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1,M2и M. Если (l1,M1), (l2,M2), (l3,M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1,M1) и (l2,M2), (l2,M2) и (l3,M3), (l3,M3) и (l1,M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками. а) Пусть l1,l2,l3,l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окру...
Задача № 1583549 класс10 класс11 класс5 / 5
В этой задаче мы будем рассматривать наборы из nпрямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1,l2,l3,l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие...