Задача № 203775
Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.
Олимпиадные задачи по теме «Индукция» для 3-6 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 198651
Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?
Задача № 188181
Любую ли сумму из целого числа рублей, больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 руб.? Почему?
Задача № 131374
В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?
Задача № 131369
В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук каждого цвета. Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
Задача № 131251
Доказать, что 22n–1 + 3n + 4 делится на 9 при любом n.
Задача № 131095
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух. б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
Задача № 131089
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть гамильтонов путь).
Задача № 130940
В выражении 1*2*3*...*9 звёздочки заменяют на минус или плюс. a) Может ли получиться 0? б) Может ли получиться 1? в) Какие числа могут получиться?
Задача № 130908
Сумма положительных чисел x1, x2, ..., xn равна ½. Докажите, что
Задача № 130905
Какое из чисел (10 двоек) или (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?
Задача № 130904
Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство 3n > n·2n.
Задача № 130828
20 команд сыграли круговой турнир по волейболу. Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.