Задача № 216892
Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству .
Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216886
Найдите наибольшее значение выражения x² + y², если |x – y| ≤ 2 и |3x + y| ≤ 6.
Задача № 216698
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности. Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
Задача № 216524
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 четыре числа – длины рёбер и диагонали AC1 – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA1 < AB < BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB1A1, ADD1A1, ABCD, а вторая – граней BCC1B1, CDD1C1, A1B1C1D1. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD1 и AC1; в) радиус R.
Задача № 216519
В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 4, угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью равен . Точки K, M, N – середины отрезков AB, DK, AC соответственно, точка E лежит на отрезке CM и 5ME = CE. Через точку E проходит плоскость П перпендикулярно отрезку CM. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки N до плоскости П.
Задача № 216518
В правильной треугольной пирамиде ABCD длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием ABC и боковой гранью равен . Точки K, M, N – середины рёбер AB, CD, AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 2ME = KE. Через точку E проходит плоскость П перпендикулярно отрезку KM. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки N до плоскости П.
Задача № 216488
Прямая пересекает график функции y = x² в точках с абсциссами x1 и x2, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x3. Докажите, что .
Задача № 216317
В четырёхугольнике ABCD найдите такую точку E , для которой отношение площадей треугольников EAB и ECD было равно 1:2, а треугольников EAD и EBC — 3:4, если известны координаты всех его вершин: A(-2;-4), B(-2;3), C(4;6), D(4;-1).
Задача № 216316
В четырёхугольнике PQRS найдите такую точку T , для которой отношение площадей треугольников RQT и PST было равно 2:1, а треугольников SRT и PQT — 1:5, если известны координаты всех его вершин: P(6;-2), Q(3;4), R(-3;4), S(0;-2).
Задача № 216274
Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой y = 100 – x.
Задача № 216079
Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.
Задача № 215993
В кубе АВСDA'B'C'D' с ребром 1 точки T, Р и Q – центры граней AA'B'B, A'B'C'D' и BB'C'C соответственно. Найдите расстояние от точки Р до плоскости АTQ.
Задача № 211472
В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S1 и S2. Найдите площадь третьего.
Задача № 211470
Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.
Задача № 211326
Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.
Задача № 211056
На плоскости даны точки A(-1;2), B(-2;1), C(-3;-3), D(0;0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?
Задача № 211055
На плоскости даны точки A(1;2), B(2;1), C(3;-3), D(0;0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?
Задача № 210745
Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
Задача № 210446
На рёбрах NN1и KN куба KLMNK1L1M1N1отмечены точки P и Q , причём = , = 4. Через точки M1, P и Q проведена плоскость. Найдите расстояние от точки K до этой плоскости, если ребро куба равно 3
Задача № 210445
Ребро куба EFGHE1F1G1H1равно 2. На рёбрах EH и HH1взяты точки A и B , причём =2, = . Через точки A , B и G1проведена плоскость. Найдите расстояние от точки E до этой плоскости.
Задача № 209770
На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
Задача № 208871
Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.
Задача № 208870
Две плоскости заданы уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0и A2x+B2y+C2z+D2=0. Пусть α – величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что cos α =.
Задача № 208869
Плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, причём числа A , B , C и D отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде ++=1, где P(0;0;p), Q(0;q;0)и R(0;0;r)– точки пересечения плоскости с координатными осями.
Задача № 208867
Прямая l проходит через точку M0(x0;yo;z0)параллельно ненулевому вектору = (a;b;c). Найдите необходимое и достаточное условие того, что точка M(x;y;z)лежит на прямой l .
1–25 из 177