Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ»
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Высота<i> SO </i>правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>образует с боковым ребром угол<i> α </i>, объём этой пирамиды равен<i> V </i>. Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке<i> S </i>, центр основания – в точке<i> C </i>, а одна из вершин основания лежит на прямой<i> SO </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>равен<i> V </i>. Высота<i> SP </i>пирамиды является ребром правильного тетраэдра<i> SPQR </i>, плоскость грани<i> PQR </i>которого перпендикулярна ребру<i> SC </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы <i>y</i> = – 2<i>x</i>² и <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x<sup>2</sup></i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i><sup>2</sup><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?
Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа <i>a + b</i> и <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i> – целые?
Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.
Окружности<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>проведены соответственно касательные<i> l<sub>1</sub> </i>и<i> l<sub>2</sub> </i>. Точки<i> T<sub>1</sub> </i>и<i> T<sub>2</sub> </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>так, что угловые меры дуг<i> T<sub>1</sub>A </i>и<i> AT<sub>2</sub> </i>равны (величина дуги...
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i> и <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i><sup>6</sup> определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.
Докажите, что функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif"> также возрастает при всех положительных <i>x</i>.
Действительные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что для любых различных простых нечётных <i>p</i> и <i>q</i> число <i>x<sup>p</sup> + y<sup>q</sup> </i> рационально.
Докажите, что <i>x</i> и <i>y</i> – рациональные числа.
Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i><sup>6</sup> + <i>b</i><sup>6</sup>). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>
|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>
О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.
Решите уравнение {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.
Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>
f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>
f<sup>2</sup></i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>
|x-a<sub>1</sub>|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b<sub>1</sub>|+..+|x-b</i>50<i>|,
</i></center> где<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>,<i> a</i>50,<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>,<i> b</i>50– различные числа?
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что <i>m + n = p + q</i> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">