Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа S найдутся прямоугольники суммарной площади больше S. а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения? б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2)и ak+1=ak+ при любом натуральном k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции y= sin x, x(0;α). Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π); б) α(0;)?
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника. а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний? б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный? в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены соответственно касательные l1 и l2 . Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2 так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 . Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности σ 2 пересекает l1 в точке M2 . Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Докажите, что sin
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An (1 n 30) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10, то A1>1.
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Докажите, что для всех x(0;)при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство 2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого k = 1, 2, 3, ... сумма первых k членов последовательности делится на k?
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Докажите, что для любого натурального числа a1 > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, ..., что делится на a1 + a2 + ... + ak при всех k ≥ 1.
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность неограничена.
Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам а) Докажите, что k > 50. б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k. в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
Для каждой пары действительных чиселaиbрассмотрим последовательность чиселpn= [2{an+b}]. Любыеkподряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длиныkбудет словом последовательности, заданной некоторымиaиbприk= 4; приk= 5? Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке. а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3 ? б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n ≥ k.
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности {bn + cn}, {bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если а) an = n²; б) в)
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность.
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a. Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.