Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 204104
Найдите все такие функции f(x), что f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.
Задача № 202797
Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
Задача № 198024
Решить в натуральных числах уравнение:
Задача № 164891
Числовая функция f такова, что для любых x и y выполняется равенство f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy. Найдите f(1), если f(0,25) = 2.
Задача № 161455
Определение.Пусть функцияf(x,y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функциюf(x,y)гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: f(x,y)=1/4(f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1) +f(x,y-1)). Пустьf(x,y) иg(x,y) — гармонические функции. Докажите, что для любыхaиbфункцияaf(x,y) +bg(x,y) также будет гармонической.
Задача № 161320
Докажите, что для монотонно возрастающей функцииf(x) уравненияx=f(f(x)) иx=f(x) равносильны.
Задача № 161215
Докажите, что функцияcosне является периодической.
Задача № 160552
Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство [α/d] = [[α]/d].
Задача № 160551
Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное. Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [α/d].
Задача № 135148
Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.