Задача № 216994
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1]. Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216889
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0. Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Задача № 216627
Решите неравенство: [x]·{x} < x – 1.
Задача № 216433
Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что f(1) + f(2) = 10 и при любых а и b. Найдите f(22011).
Задача № 216254
Найдите такое значение , при котором уравнение имеет единственное решение.
Задача № 216003
Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: . Найдите f(–1).
Задача № 211923
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону h(t)=at2+bt+c, а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Задача № 211345
Числа p и q таковы, что параболы y = – 2x² и y = x² + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Задача № 210153
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Задача № 209533
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Задача № 209438
Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y). Найдите f(2007), если f() = 1.
Задача № 205091
Вычислите
Задача № 198588
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство
Задача № 198182
Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x? (Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
Задача № 197900
При каком натуральном K величина достигает максимального значения?
Задача № 197865
а) Привести пример такого положительного a, что {a} + {1/a} = 1. б) Может ли такое a быть рациональным числом?
Задача № 186124
Числаaиbтаковы, что первое уравнение системы { cos x=ax+b sin x+a=0 имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Задача № 186118
Числаaиbтаковы, что первое уравнение системы { sin x+a=bx cos x=b имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Задача № 179539
Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функцииy= 2x?
Задача № 179400
Рассматривается функцияy=f(x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числаk≠ 0 соотношениюf(x+k) . (1 −f(x)) = 1 +f(x). Доказать, чтоf(x) — периодическая функция.
Задача № 179347
Последовательность натуральных чисел {xn} строится по следующему правилу: x1 = 2, ..., xn = [1,5xn–1]. Доказать, что последовательность yn = (–1)xn непериодическая.
Задача № 178102
Решить уравнение x³ – [x] = 3.
Задача № 178056
Доказать, что если p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.
Задача № 178003
Доказать, что если то x4 + a1x³ + a2x² + a3x + a4 делится на (x – x0)².
Задача № 173609
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x). Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
1–25 из 83