Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа S найдутся прямоугольники суммарной площади больше S. а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения? б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d1, d2, d3, ... . Может ли случиться, что при этом сумма 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk не превышает 0,9? Рассмотрите случаи: а) общее число прогрессий конечно; б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).
Найдется ли такое n, при котором ? А больше 1000?
а) На плоскости даныnвекторов, длина каждого из которыхравна 1.Сумма всехnвекторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всехk = 1,2, ...,nвыполнялось следующее условие: длина суммы первыхk векторовнепревышает 3.б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Обозначим черезSсумму следующего ряда: S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1) Преобразовав равенство (12.1), можно получить уравнение, из которого находитсяS: S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S S = . СуммуSможно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1) в пары: S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0; S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1. Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значениеS: S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1. Итак, действуя четырьмя разными спос...
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
Найдите суммы рядов а) б) в) (r ≥ 2).