Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Найдите такое значение , при котором уравнение имеет единственное решение.
Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы y = xn + px + q, z = yn + py + q, x = zn + pz + q, то выполнено неравенство x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y. Рассмотрите случаи а) n = 2; б) n = 2010.
Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2)и ak+1=ak+ при любом натуральном k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции y= sin x, x(0;α). Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π); б) α(0;)?
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону h(t)=at2+bt+c, а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x. Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника. а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний? б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный? в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены соответственно касательные l1 и l2 . Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2 так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 . Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности σ 2 пересекает l1 в точке M2 . Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Докажите, что sin
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x. Докажите, что α=γ или α=τ .
Докажите, что для всех x(0;)при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство 2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;
Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Докажите, что при всех , , справедливо неравенство .
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам а) Докажите, что k > 50. б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k. в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
Про непрерывную функциюfизвестно, что: f определена на всей числовой прямой; f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную); график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. Следует ли отсюда, что график f — прямая?
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функцииy=x4, опускают вишенку — шар радиусаr. При каком наибольшемrшар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиусrкруга, лежащего в областиyx4и содержащего начало координат?)
Для заданных натуральных чисел k0