Задача № 209834
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209777
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Задача № 209753
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Задача № 207992
Для каждой пары действительных чиселaиbрассмотрим последовательность чиселpn= [2{an+b}]. Любыеkподряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длиныkбудет словом последовательности, заданной некоторымиaиbприk= 4; приk= 5? Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
Задача № 205220
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке. а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3 ? б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n ≥ k.
Задача № 205088
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности {bn + cn}, {bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если а) an = n²; б) в)
Задача № 205071
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность.
Задача № 178675
Две прямые на плоскости пересекаются под углом. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что уголизмеряется рациональным числом градусов.
Задача № 177898
Докажите, что числа вида 2nпри различных целых положительныхnмогут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
Задача № 173620
Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма не равна нулю. Докажите это.
Задача № 167260
Дано натуральное число . Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167257
Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166578
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки и . Известно, что и — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к , то он прыгает вправо на расстояние, равное . Если же он находится в середине отрезка или в точке, которая ближе к , то он прыгает влево на расстояние, равное . Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем .
Задача № 166202
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее. а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n . б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?
Задача № 165760
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями x ± y ± z = n (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (x0, y0, z0) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка (kx0, ky0, kz0) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
Задача № 160875
Определим последовательности чисел (xn) и (dn) условиями x1 = 1, xn+1 = [ ], dn = x2n+1 – 2x2n–1 (n ≥ 1). Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде (d1,d2d3...)2.
Задача № 160868
Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n ≠ 4 не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.
Задача № 135708
Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.