Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества  <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.

Докажите, что для некоторых  <i>t</i>₁, ..., <i>t</i>₁₀₀  из <i>S</i> множества   <i>A_j</i> = {<i>x + t_j</i> | <i>x</i> ∈ <i>A;  j</i> = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета <i>хорошей</i>, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.

Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече?

Множество клеток на клетчатой плоскости назовем <i>ладейно связным</i>, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города <i>A</i> статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих <i>A</i> с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

В некотором городе на каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрёстке сходятся улицы трёх разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета.

Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Каждый квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3×3×3?

Назовём десятизначное число <i>интересным</i>, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.

Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза. б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.

Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

В стране <i>n</i> городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

В компании из  2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.

Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.

Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> и спросить, верно ли, что

<i>m</i>(<i>A</i>) < <i>m</i>(<i>B</i>) < <i>m</i>(<i>C</i>)  (через <i>m</i>(<i>x</i>) обозначена масса гири <i>x</i>). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на <i>n</i> частей (на рисунке  <i>n</i> = 5). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109703/problem_109703_img_2.gif"></div>Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из <i>N</i> авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  <i>N</i> – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

В городе Цветочном<i>n</i>площадей и<i>m</i>улиц  (<i>m</i>≥<i>n</i>+ 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.

Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)