Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 7 класса - сложность 3 с решениями
В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.
Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо <i>p</i> человек, либо <i>q</i> (<i>p</i> и <i>q</i> взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?
На бесконечной шахматной доске расставлены пешки через три поля на четвёртое, так что они образуют квадратную сетку.
Докажите, что шахматный конь не может обойти все свободные поля, побывав на каждом поле по одному разу.
20 телефонов соединены проводами так, что каждый провод соединяет два телефона, каждая пара телефонов соединена не более чем одним проводом и от каждого телефона отходит не более двух проводов. Нужно закрасить провода (каждый провод целиком одной краской) так, чтобы от каждого телефона отходили провода разных цветов. Какого наименьшего числа красок достаточно для такой закраски?
На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?
Пусть <i>K</i>(<i>x</i>) равно числу таких несократимых дробей <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, что <i>a < x</i> и <i>b < x</i> (<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа). Например, <i>K</i>(<sup>5</sup>/<sub>2</sub>) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму <i>K</i>(100) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>2</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>3</sub>) + ... + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>99</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>100</sub>).
На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются <i>узлами, звеном</i>" мы будем называть отрезок прямой, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?
В городе одна синяя площадь и <i>n</i> зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2<i>n</i> улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73799/problem_73799_img_2.gif"></div>
<i>n</i> человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом <i>n</i>.
Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?
Среди 49 школьников каждый знаком не менее чем с 25 другими.
Докажите, что можно их разбить на группы из двух или трёх человек так, чтобы каждый был знаком со всеми в своей группе.
Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)
Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна <i>p</i>.
a) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.
б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
В выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две случайные диагонали.
Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри – то есть не в вершине).
Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?
У Пети есть 12 одинаковых разноцветных вагончиков (некоторые, возможно, одного цвета, но неизвестно, сколько вагончиков какого цвета). Петя считает, что различных 12-вагонных поездов он сможет составить больше, чем 11-вагонных. Не ошибается ли Петя? (Поезда считаются одинаковыми, если в них на одних и тех же местах находятся вагончики одного и того же цвета.)
В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)
Найдите наибольшее число цветов, в которые можно покрасить рёбра куба (каждое ребро одним цветом) так, чтобы для каждой пары цветов нашлись два соседних ребра, покрашенные в эти цвета. Соседними считаются рёбра, имеющие общую вершину.
12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (<i>k</i>+1)-м – те, кто были в <i>k</i>-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Есть волейбольная сетка 5×10. Какое максимальное число веревок, её составляющих, можно разрезать так, чтобы она не распалась?
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть <i>гамильтонов путь</i>).
В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40. Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.