Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Даны таблица 100×100 клеток и <i>N</i> фишек. Рассматриваются все такие расстановки фишек в клетки таблицы, что никакие две фишки не стоят в соседних клетках. При каком наибольшем <i>N</i> в каждой из этих расстановок можно найти хотя бы одну фишку, от перемещения которой в соседнюю клетку заданное условие не нарушится? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?

Раскраска вершин графа называется <i>правильной</i>, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в <i>k</i> цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех <i>k</i> цветов ровно по одному разу.

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?

а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться? б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Сколькими способами можно расставить числа от 1 до 100 в прямоугольнике 2×50 так, чтобы каждые два числа, различающиеся на 1, всегда попадали бы в клетки с общей стороной?

Даны две таблицы <i>A</i> и <i>B</i>, в каждой <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом <i>k</i> от 1 до <i>m</i> сумма чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>A</i> не меньше суммы чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>B</i>. Известно также, что всего в таблице <i>A</i> столько же единиц, сколько в таблице <i>B</i>. Докажите, что при любом <i>l</i> от 1 до <i>n</i> сумма чисел в...

На большой шахматной доске отметили 2<i>n</i> клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.

Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на <i>n</i> прямоугольников.

Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?

Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов  (<i>n</i> ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

В колоду сложено <i>n</i> различных карт. Разрешается переложить любое число рядом лежащих карт (не меняя порядок их следования и не переворачивая) в другое место колоды. Требуется несколькими такими операциями переложить все <i>n</i> карт в обратном порядке.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 9  это можно сделать за 5 операций;

Докажите, что при  <i>n</i> = 52  это

  б) можно сделать за 27 операций;

  в) нельзя сделать за 17 операций;

  г) нельзя сделать за 26 операций.

Какое минимальное количество точек на поверхности

   а) додекаэдра,

   б) икосаэдра

надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

Числа  1, 2, 3, ..., <i>n</i>  записываются в некотором порядке:  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>.  Берётся сумма  <i>S</i> = ^<i>a</i>₁/₁ + ^<i>a</i>₂/₂ + ... + ^<i>a_n</i>/_<i>n</i>.  Найдите такое <i>n</i>, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂,...

На окружности имеется 21 точка.

Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

Докажите для каждого натурального числа  <i>n</i> > 1  равенство:   [<i>n</i>^1/2] + [<i>n</i>^1/3] + ... + [<i>n</i>^1/<i>n</i>] = [log_₂<i>n</i>] + [log_₃<i>n</i>] + ... + [log<i>_nn</i>].

В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что <i>a</i>_<i>k</i> делится на <i>k</i> при каждом <i>k</i>. Найти все такие перестановки.

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и  <i>m > k</i>,  что <i>m</i> и  <i>n – k</i>  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  <i>a</i>₁, ..., <i>a_k, a</i>_<i>k</i>+1, ..., <i>a_m, a</i>_<i>m</i>+1, ..., <i>a_n</i>.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  <i>a</i>_<i>m</i>+1, ..., <i>a_n, a</i><sub><i&gt...

На клетчатой доске 11×11 отмечено 22 клетки так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали отмечено ровно две клетки. Два расположения отмеченных клеток эквивалентны, если, меняя любое число раз вертикали между собой и горизонтали между собой, мы из одного расположения можем получить другое. Сколько существует неэквивалентных расположений отмеченных клеток?