Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» - сложность 2-5 с решениями

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.

Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски $1000\times n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее $2020$. В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от $n$.